Indirect Proof in Plato’s Parmenides
In Plato’s Parmenides we learn that the purpose of Zeno’s book was to defend the criticisms against his teacher Parmenides. Those criticisms, presumably, were that if to pan is a unity, that is, if the all or the world (whatever you wish for to pan) is one, then many absurdities follow. Zeno’s paradoxes were meant to show the contrary, that if the world is a plurality, even many more absurdities follow. Cornford and his student Raven thought that it was the Pythagorean pluralists whom Zeno was targeting (Cornford, 1939; Raven, 1966). One consequence of Zeno’s attack, argued Cornford, was the separation of arithmetic from geometry (Cornford 1939:60). After Zeno, we have two different approaches to the problem of incommensurables.
According to the Greek historian and mathematician Wilbur Richard Knorr, the problem of incommensurables didn’t arise until circa 430 BCE, after Parmenides and Zeno (Knorr 1975:48-49). He argued that the early Pythagorean teachings [of number and pebble arithmetic] initiated Theodorus’ studies of incommensurables (Knorr 1975: 48). It is interesting that the early Pythagoreans didn’t recognize that the side of the square did not share a common measure with its diagonal. As Walter Burkert points out, the Pythagoreans had a reverence for certain numbers, their properties and interrelations. He says that cosmic forces were at work, so to speak, in dichotomies such as the Even and Odd. To them, the universe was necessarily a harmony of pluralities, governed by a table of opposites that explained everything in the world. It necessarily followed that the boundaries or limits of these pluralities, i.e., the definitions, the patterns, the shapes…guided understanding and knowledge of the world. A proof showing that two lines did not share a common measure would reduce their preconceptions to banality (Burkert 1972: 433).
Plato’s school lies at the crosshairs of this great shift in thinking about mathematical relation and the metaphysical structure of the world. The main characters of the Parmenides were part of this great symposium (Raven 1966:175). Plato cleverly places his theory of Forms into that great metaphysical debate, whether the world, or the all, or reality, is one, or whether it is many. Plato’s answer to this question as we have seen from the Phaedo is that the real beings, ta onta, are singular in form, themselves never affected by any change and always remained the same (78d) and that the world has a relation to those real beings, that each sensible thing of the world (78e) acquires their characteristics by having a share in those real beings. The sensibles in this world are always susceptible to change, and, unlike those real beings, are not everlasting. Sensibles are necessarily complex, whereas forms are unities.
Thus it is methodologically significant that Plato places in the mouth of Parmenides objections to his theory of Forms (135a-135c1). One of the problems introduced is the Third Man argument, leading to an infinite regress of forms. The regress is generated because the account of what a form is and how one comes to have knowledge of a form (either through sensible observation or through intelligible thought) does not have a definite limit that separates what is and is not a form. The problem only arises if one can ascribe the same properties to forms as we do sensible particulars. But we saw in Plato’s Phaedo (78d-e) that forms and sensibles do not share any properties in common, and yet forms are still in some way responsible for the characteristics that sensibles have.
The set up of the problem in Part I in Plato’s Parmenides, where Socrates is asked to answer Parmenides’s objections, and Part II, the solution, takes the shape of an indirect proof, the kind that we find in Parmenides’s poem, the kind that we find in Zeno’s paradoxes, and the kind that we find in proving that the side of the square is incommensurable with its diagonal. I suggest that the age of Socrates here has no bearing on how we should interpret Plato’s treatment of Parmenides’s objections, as commonly argued. Rather, we should interpret Plato’s treatment of the objections within the context of developments in Greek mathematical thinking right from the time of Zeno, the first dialectician (Szabó 1978: 248), to the Greek mathematicians Theodorus and Theaetetus, whose work on incommensurables are outlined to us in Plato’s Theaetetus. Plato was familiar with the problem of incommensurability as demonstrated in the Meno passage at 84Aff, and the fact that he portrays two different approaches to the problem in the Theaetetus shows that it was a problem coming to fruition among the Greek mathematicians in Plato’s day.
In the Meno, Socrates challenges the boy to find twice the area of a given square from its side. He tells the boy that if he cannot count it out, kai mē boulei arithmein, that he point to the line (84a). In the translations of this passage, interpreters tend to imply that the boy is unable to count out the number for himself. But the problem is impossible, because in order to count the boy would need a common measure by which to count. The sides and the diagonal could never have shared a common measure for the boy to count out. The demonstration with Socrates and the boy isn’t simply about recollection; the subject of the demonstration is about the incommensurability of a square’s sides with its diagonal, a demonstration by indirect proof. We learn from Socrates that in order to make the measures commensurable, an impossible problem from the standpoint of Greek arithmetic, requires a geometric solution. The length of the line and the length of the diagonal of the square do not share a common measure, but their areas do.
Plato is doing something similar in the Parmenides with respect to the claim that, in order to have knowledge, we need to posit a form for each thing (135a-135c1). The hypothesis under consideration is the hypothesis that not only are there forms for the just, the beautiful and the good, there are forms for human being, fire, water, hair, mud, dirt, and everything else. In the second part of the dialogue, Plato assumes the truth of this hypothesis. What follows is an indirect proof, showing that unlimited forms, forms without limits and no forms at all lead to impossible results. What are the results if there is a form for everything, every characteristic, every natural thing, and what are the results if there are no forms? The conclusion is an untenable result. At the end of the exercise, Parmenides says: «as it seems, whether one is or is not, it and the others both are and are not, and both appear and do not appear all things in all ways, both in relation to themselves and in relation to each other», (166c3-6, tr. Mary Louise Gill and Paul Ryan). Just like the realization that it is impossible to count out the diagonal for lack of countable integers, at the end of the deductions, it is impossible to know the objects of the world without definite limits. Therefore, there must be forms, and forms must provide limits, but there must be a limit to forms, in order for knowledge to be possible.
Preuve indirecte dans le Parménide de Platon
Dans le Parménide de Platon, nous apprenons que le but du livre de Zénon était de défendre les critiques lancées contre son professeur Parménide. Ces critiques étaient vraisemblablement que si to pan est une unité, c’est-à-dire si tout ou le monde (peu importe ce que vous voulez faire pour to pan) est un, alors de nombreuses absurdités s’ensuivent. Les paradoxes de Zénon étaient censés montrer le contraire, à savoir que si le monde est une pluralité, même de nombreuses absurdités s’ensuivent. Cornford et son étudiant Raven pensaient que c’était les pluralistes pythagoriciens que Zénon ciblait (Cornford, 1939; Raven, 1966). Une des conséquences de l’attaque de Zénon, selon Cornford, fut la séparation de l’arithmétique et de la géométrie (Cornford 1939: 60). Après Zénon, nous avons deux approches différentes du problème des incommensurables.
Selon l’historien et mathématicien grec Wilbur Richard Knorr, le problème des incommensurables n’apparut qu’en 430 av J.-C., après Parménide et Zénon (Knorr 1975: 48-49). Il a soutenu que les premiers enseignements pythagoriciens avaient initié les études de Théodore sur les incommensurables (Knorr 1975: 48). Il est intéressant de noter que les premiers Pythagoriciens n’ont pas reconnu que le côté d’un carré ne partageait pas de mesure commune avec sa diagonale. Comme le souligne Walter Burkert, les pythagoriciens respectent certains nombres, leurs propriétés et leurs interrelations. Il avance que les forces cosmiques étaient en quelque sorte à l’œuvre dans des dichotomies telles que artios et perittos. Pour eux, l’univers était nécessairement une harmonie de pluralités, régie par une table des contraires qui expliquait tout dans le monde. Il en découle que les délimitations ou les limites de ces pluralités, c’est-à-dire les définitions, les modèles, les formes… guidaient la compréhension et la connaissance du monde. Une preuve démontrant que deux lignes ne partageaient pas une mesure commune réduirait leurs préconceptions à des banalités (Burkert 1972: 433).
L’Acaémie de Platon se situe à la croisée de ce grand changement dans la réflexion sur la relation mathématique et la structure métaphysique du monde. Les personnages principaux du Parménide faisaient partie de ce grand symposium (Raven 1966: 175). Platon place habilement sa théorie des formes dans ce grand débat métaphysique, que le monde, le tout ou la réalité soit un, ou qu’il soit plusieurs. La réponse de Platon à cette question, telle que nous l’avons vue dans le Phèdon est que les êtres réels, ta onta, ont une forme singulière, qu’ils ne sont jamais affectés par aucun changement et restent toujours restés les mêmes (78d), et que le monde est en relation avec ces êtres réels, que chaque chose sensible du monde (78e) acquiert ses caractéristiques en ayant sa part dans ces êtres réels. Les êtres sensibles dans ce monde sont toujours susceptibles de changer et, contrairement à ces êtres réels, ne sont pas éternelles. Les êtres sensibles sont nécessairement complexes, alors que les formes sont des unités.
Il est donc méthodologiquement significatif que Platon fait emmètre à Parménide des objections à sa théorie des formes (135a-135c1). L’un des problèmes présentés est l’argument du troisième homme, qui conduit à une régression infinie des formes. La régression est générée parce que le récit de ce qu’est une forme et comment on en vient à connaître une forme (soit par observation sensible ou par la pensée intelligible) n’a pas de limite définie qui sépare ce qui est et n’est pas une forme. Le problème ne se pose que si l’on peut attribuer les mêmes propriétés aux formes que les détails sensibles. Mais comme nous l’avons vu dans le Phèdon de Platon (78d-e) les formes et les êtres sensibles n’ont aucune propriété en commun, et pourtant les formes sont en quelque sorte encore responsables des caractéristiques des sensibles.
La mise en place du problème dans la première partie du Parménide de Platon, où Socrate est invité à répondre aux objections de Parménide, et la deuxième partie, la solution, prend la forme d’une preuve indirecte, du genre que nous trouvons dans le poème de Parménide, ainsi que dans les paradoxes de Zénon, et aussi du genre que nous trouvons dans la preuve que le côté d’un carré est incommensurable avec sa diagonale. Nous devrions plutôt interpréter le traitement des objections par Platon dans le contexte des développements de la pensée mathématique grecque depuis Zénon, le premier dialecticien (Szabó 1978: 248), jusqu’aux mathématiciens grecs Théodore et Théétète, dont les travaux sur les incommensurables nous sont présentés dans le Théétète de Platon. Platon était familier avec le problème de l’incommensurabilité, comme le montre le passage de Menon 84aff, et le fait qu’il dépeint deux approches différentes du problème dans le Théétète montre que c’était un problème qui se réalisait chez les mathématiciens grecs à l’époque de Platon.
Dans le Ménon, Socrate défie le garçon de trouver deux fois la surface d’un carré donnée de son côté. Il dit au garçon que s’il ne peut pas le compter, kai mē boulei arithmein, qu’il montre du doigt la ligne (84a). Mais le problème est impossible à résoudre, car pour compter, le garçon aurait besoin d’une mesure commune pour compter. Les côtés et la diagonale n’auraient jamais pu partager une mesure commune pour le garçon. La démonstration entre Socrate et le garçon ne concerne pas simplement la mémoire; Le sujet de la démonstration concerne l’incommensurabilité des côtés d’un carré avec sa diagonale, une démonstration par preuve indirecte. Socrate nous apprend que, pour rendre les mesures commensurables, un problème impossible du point de vue de l’arithmétique grecque exige une solution géométrique. La longueur de la ligne et la longueur de la diagonale du carré ne partagent pas une mesure commune, mais leurs surfaces oui.
Platon fait quelque chose de similaire dans le Parménide en ce qui concerne l’affirmation selon laquelle, pour avoir la connaissance, nous devons poser une forme pour chaque chose (135a-135c1). L’hypothèse considérée est que non seulement il y a des formes pour le juste, le beau et le bon, mais qu’il y a aussi des formes pour l’être humain, le feu, l’eau, les cheveux, la boue, la saleté et tout le reste. Dans la seconde partie du dialogue, Platon assume la vérité de cette hypothèse. Ce qui suit est une preuve indirecte, montrant que des formes illimitées, des formes sans limites et qu’aucune forme ne conduisent à des résultats impossibles. Quels sont les résultats s’il y a une forme pour tout, pour chaque caractéristique, pour chaque chose naturelle et quels sont les résultats s’il n’y a pas de formes? La conclusion est un résultat intenable. À la fin de l’exercice, Parménide dit: «comme il semble, qu’on soit ou non, il et les autres sont et ne sont pas, et tous deux apparaissent et n’apparaissent pas de toutes les manières, les deux par rapport à eux-mêmes et par rapport à l’autre » (166c3-6, tr. Mary Louise Gill et Paul Ryan). Tout comme la prise de conscience qu’il est impossible de compter la diagonale par manque d’entiers dénombrables, à la fin des déductions, il est impossible de connaître les objets du monde sans limites définies. Par conséquent, il doit y avoir des formes, et les formes doivent fournir des limites, mais les formes doivent être limités pour que la connaissance soit possible.